对于给定的n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA，则称B与A可交换．对于下列矩阵A，试分别求出所有与A可交换的矩阵． A

对于给定的n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA，则称B与A可交换．对于下列矩阵A，试分别求出所有与A可交换的矩阵．
A=
(010
001
000)
【正确答案】：设与A可交换的矩阵X= (x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₃₁ x₃₂ x₃₃)， 则 AX= (0 1 0 0 0 1 0 0 0) (x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₃₁ x₃₂ x₃₃) =( x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₃₁ x₃₂ x₃₃) 0 0 0)， XA= (x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₃₁ x₃₂ x₃₃)， (0 1 0 0 0 1 0 0 0) = (0 x₁₁ x₁₂ 0 x₂₁ x₂₂ 0 x₃₁ x₃₃) 因为X与A可交换， 则AX=XA，有 (x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₃₁ x₃₂ x₃₃ 0 0 0) = (0 x₁₁ x₁₂ 0 x₂₁ x₂₂ 0 x₃₁ x₃₂) 即x₁₁=x₂₂=x₃₃，x₁₂=x₂₃，x₂₁=0，x₃₁=0，x₃₂=0， 令x₁₁=x₂₂=x₃₃=α，x₁₂=x₂₃=b，x₁₃=c， 从而所有与A可交换的矩阵形如 (α b c 0 α b 0 0 α) ，其中α，b，c为任意常数．