用配方法求二次型f=2x1x2-x1x3+x1x4-x2x3+x2x4-2x3x4的标准形．

用配方法求二次型f=2x₁x₂-x₁x₃+x₁x₄-x₂x₃+x₂x₄-2x₃x₄的标准形．
【正确答案】：f=2x₁x₂-x₁x₃+x₁x₄-x₂x₃+x₂x₄-2x₃x₄ =2x₁x₂-(x₁+x₂)x₃+(x₁+x₂)x₄-2x₃x₄． 为了产生平方项，需要先作可逆线性变换 (x₁ x₂ x₃ x₄) = (1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1) (y₁ y₂ y₃ y₄)， 即 {x₁=y₁+y₂ {x₂=y₁-y₂ {x₃=y₃ {x₄=y₄ 将上式代入原二次型得 f=2y₁²-2y₂²-2y₁y₃+2y₁y₄-2y₃y₄ =2(y₁²-y₁y₃+y₁y₄)-2y₂²-2y₃y₄ =2[y₁-(1/2)y₃+(1/2)y₄]²-(1/2)y₃²-(1/2)y₂⁴+y₃y₄-2y₂²-2y₃y₄ =2[y₁-(1/2)y₃+(1/2)y₄]²-2y₂²-1/2(y₃+y₄)²． 再经可逆线性变换 {z₁=y₁-(1/2)y₃+(1/2)y₄ {z₂=y₂ {z₃=y₃+y₄ {z₄=y₄ 就可得到标准形f=2z-2z-(1/2)z．