用正交变换化下列二次型为标准形，并写出所作的正交变换． f(x1，x2)=2x12+2x22-6x1x2．

用正交变换化下列二次型为标准形，并写出所作的正交变换．
f(x₁，x₂)=2x₁²+2x₂²-6x₁x₂．
【正确答案】：二次型的矩阵是 A= (2 -3 -3 2) 矩阵A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-2 3 | | 3 λ-2| =(λ-5)(λ+1)， 于是A的特征值为λ₁=5，λ₂=-1． 对于特征值λ₁=5，解方程组(5E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 5E-A= (3 3 3 3) → (1 1 0 0) 得基础解系α₁= (-1 1)， 得A的属于特征值λ₁=5的一个特征向量为α₁，单位化得β₁ = (-1/√2 1/√2) 对于特征值λ₂=-1，解方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (-3 3 3 -3) → (1 -1 0 0) 得基础解系α₂= (1 1)， 得A的属于特征值λ₂=-1的二个特征向量α₂，单位化得β₂= (1/√2 1/√2 令Q= (-1/√2 1/√2 1/√2 1/√2)， 则Q^TAQ= (5 -1)， 于是作正交变换x=Qy，则有f=5y₁²-y₂²．