将函数f(x)=xarctanx展开为x的幂级数．

将函数f(x)=xarctanx展开为x的幂级数．
【正确答案】：∵(atctanx)′=1/(1+x²)=∑_n=0^∞(-x²)ⁿ ∣x∣﹤1 ∴arctanx=∫₀^x∑_n=0^∞(-x²)ⁿdx =∑_n=0^∞(-1)ⁿ∫₀^xx²ⁿdx =∑_n=0^∞[(-1)ⁿ/(2n+1)]x²ⁿ⁺¹ ∣x∣≤1 ∴f(x)=∑_n=0^∞[(-1)ⁿ/(2n+1)]x²ⁿ⁺² ∣x∣≤1．