设A为m×n实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.

设A为m×n实矩阵，ATA为正定矩阵.证明：线性方程组Ax=0只有零解.
【正确答案】：齐次线性方程组Ax=0只有零解
【题目解析】：

已知A为m×n实矩阵，则AT为n×m实矩阵，ATA为n×n正定矩阵，所以秩（ATA）＝n。由矩阵秩的性质，秩A＝秩AT，不妨设秩A＝秩AT＝r，存在非奇异矩阵Q，使得QAT＝，存在非奇异矩阵R，使得AR＝(Cm×r 0)，所以QATAR＝，即秩（ATA）＝r＝n， 所以，齐次线性方程组Ax=0只有零解。