设二次型f(x1，x2，x3)=4x12+3x22+3x32+2x2x3，求一个正交变换x=Qy，将二次型化为标准形．

设二次型f(x₁，x₂，x₃)=4x₁²+3x₂²+3x₃²+2x₂x₃，求一个正交变换x=Qy，将二次型化为标准形．
【正确答案】：二次型的矩阵 A= (4 0 0 0 3 1 0 1 3) 矩阵A的特征多项式为 |AE-A|= |λ-4 0 0| | 0 λ-3 -1| | 0 -1 λ-3| =(λ-2)(λ-4)²， 所以A的特征值为λ₁=2，λ₂=λ₃=4． 对于特征值λ₁=2，由方程组(2E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 |2E-A|= (-2 0 0 0 -1 -1 0 -1 -1) → (1 0 0 0 1 1 0 0 0) 得方程组的基础解系α₁= (0 1 -1)， 所以A的属于特征值λ₁=2的一个特征向量为α₁，单位化 得β₁= (0 1/√2 -1/√2) 对于特征值λ₂=λ₃=4，解方程组(4E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 4E-A= (0 0 0 0 1 -1 0 -1 1) → (0 1 -1 0 0 0 0 0 0) 得方程组的基础解系α₂= (1 0 0)， α₃= (0 1 1)， 所以A的属于λ₂=λ₃=4的两个线性无关的特征 向量为α₂，α₃，且α₂与α₃正交，单位化得β₂= (1 0 0)， β₃= (0 1/√2 1/√2) 令Q=(β₁，β₂，β₃)= (0 1 0 1/√2 0 1/√2 -1/√2 0 1/√2)， 则Q为正交矩阵，Q^TAQ= (2 4 4)， 令X=Qy， 则f=y^TQ^TAQy=2y₁²+4y₂²+4y₃²．