A、连续点
B、可去间断点
C、第二类间断点
D、第一类间断点，但不是可去间断点
【正确答案】：A
【名师解析】:根据题目中的函数表达式 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，我们可以看出当 \( x \neq 1 \) 时，函数可以简化为 \( f(x) = x + 1 \)。这说明函数在 \( x = 1 \) 以外的所有点上都是连续的。然而，当 \( x = 1 \) 时，函数的分母为零，导致函数在这一点上没有定义。但是，我们可以计算 \( x \) 趋近于 1 时函数的极限值，即 \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \)。由于这个极限存在且等于函数在 \( x = 1 \) 处的左极限和右极限，我们可以认为 \( x = 1 \) 是函数的一个连续点。因此，根据题目给出的选项，正确答案是 A，即连续点。